Drost studeerde aan de Vrije Universiteit en de Universiteit van Amsterdam, waar hij zich toelegde op de filosofie van kunst en cultuur. In 2002 is hij op het onderwerp 'Denken en dichten over liefde' afgestudeerd. Sinds enkele jaren doceert hij filosofie aan de Hogeschool van Amsterdam, waar hij het door hem zelf ontwikkelde keuzevak poëzie en liefde verzorgt, evenals een op de praktijk toegespitste overzichtscursus wijsgerige ethiek.