Wiskunde: van wies naar waste

Van onregelmatige naar regelmatige werkwoorden: een wiskundige analyse
Leestijd 2 minuten — Vr 10 juni 2011

Veel werkwoorden die vroeger in het Nederlands onregelmatig waren, zijn in de loop der tijd regelmatig geworden. Een voorbeeld hiervan is het werkwoord 'wassen': vroeger was de verleden tijd hiervan: 'wies', nu zegt men: 'waste'. Ook in het Engels doet dit verschijnsel zich voor.

De Amerikaanse onderzoekers Lieberman en Michel hebben in 2007 met behulp van oude teksten de veranderingen bij 177 Engelse werkwoorden onderzocht. Ze merkten hierbij het volgende op: als onregelmatige werkwoorden vaker gebruikt worden, duurt het lang voordat ze regelmatig worden. Daarnaast noemden de onderzoekers dat de tien meest gebruikte Engelse werkwoorden alle tien onregelmatig zijn. Om te onderzoeken hoe uitzonderlijk dit is, bekijken we tien willekeurig gekozen Engelse werkwoorden. In het hedendaagse Engels is slechts drie procent van alle werkwoorden onregelmatig. Daarom nemen we aan dat een willekeurig gekozen Engels werkwoord onregelmatig is gelijk is aan 0,03. De kans dat tien willekeurig gekozen Engelse werkwoorden alle tien onregelmatig zijn, is 0,0310= 5,9049*10-16 = 0,00000000000000059049. Dat is dus een hele kleine kans. Dit is een opgave uit het eindexamen voor VWO uit 2010, tijdvak 2.

De onderzoekers hebben de 177 onderzochte werkwoorden ingedeeld in zes klassen, gerangschikt naar het gebruik ervan. In klasse 1 zitten de twee meest gebruikte werkwoorden, to be en to have, in klasse 6 de minst gebruikte. In het Oud Engels (rond 800 na Chr.) waren alle 177 werkwoorden onregelmatig, in het Middel Engels (rond 1200 na Chr.) waren er nog 145 onregelmatig en in het hedendaagse Engels (rond 2000 na Chr.) nog 98. Er zijn dus 79 werkwoorden regelmatig geworden. Het aantal werkwoorden dat regelmatig is geworden, verschilt per klasse: de twee onregelmatige werkwoorden van klasse 1 zijn nog steeds onregelmatig, die van klasse 6 zijn bijna allemaal regelmatig geworden.

De onderzoekers hebben de ontwikkeling van onregelmatige werkwoorden opgevat als een exponentiële afname. Dit betekent dat het aantal onregelmatige werkwoorden met een vast percentage per tijdseenheid (in dit geval in jaren) afneemt. Een formule van een exponentiële functie ziet er als volgt uit: H=b*gt waarbij H de hoeveelheid onregelmatige werkwoorden is op tijdstip t, b het aantal onregelmatige woorden in de beginsituatie en g is de groeifactor die aangeeft met welk percentage het aantal woorden afneemt.

Elke klasse heeft een andere afname. Van klasse 5 is bijvoorbeeld bekend dat in 1200 jaar het aantal onregelmatige werkwoorden is afgenomen van 50 naar 14. Nu kunnen we de groeifactor berekenen en dan een formule opstellen voor het aantal onregelmatige werkwoorden op een willekeurig tijdstip. Als in 1200 jaar het aantal onregelmatige werkwoorden is afgenomen van 50 naar 14, dan blijft er na deze 1200 jaar 14/50=0,28=28% over van de 50 onregelmatige werkwoorden. Er blijft elke keer 28 procent over dus de afname in 1200 jaar is 72 procent. Per jaar is dit dan (14/50)1/1200= 0,999=99.9%. De formule voor het aantal onregelmatige werkwoorden (H) in een bepaald jaar (t) is dan H=50*0,999t. Met t het aantal jaren vanaf 2011-1200= 811 na Christus. In het jaar 3000 zullen er nog 50*0,9992189=5.56 is ongeveer 6 onregelmatige woorden uit klasse 5 zijn.